PRODUCTOS NOTABLES

DEFINICIÒN

Para entender que son productos notables debemos tener en cuenta que se le llama producto al resultado de una multiplicación y notable cuando se utilizan expresiones algebraicas.

BINOMIO CUADRADO:

La suma de dos términos elevados al cuadrado del primer termino menos el doble del primer termino multiplicado por el segundo sumándole el cuadrado de la segunda cantidad.

PRODUCTO DE BINOMIOS COMBINADOS:


El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer termino menos el cuadrado del segundo.

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero menos el doble del primer termino, multiplicando por el segundo, sumando el cuadrado de la segunda cantidad.

RESPUESTA:

En resumen se copia la siguiente tabla para que se entienda el Producto notable con su expresión Algebraica:

Producto notable		Expresión algebraica	Nombre
(a + b)2	=	a2 + 2ab + b2	Binomio al cuadrado
(a + b)3	=	a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	Binomio al cubo
a2 - b2	=	(a + b) (a - b)	Diferencia de cuadrados
a3 - b3	=	(a - b) (a2 + b2 + ab)	Diferencia de cubos
a3 + b3	=	(a + b) (a2 + b2 - ab)	Suma de cubos
a4 - b4	=	(a + b) (a - b) (a2 + b2)	Diferencia cuarta
(a + b + c)2	=	a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc	Trinomio al cuadrado

 Tabla tomada de: matematica/AlgebraProductosnotables.htm

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión en  factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

• 1.       CASO DE FACTOR COMÚN MONOMIO POLINOMIO Y POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Es el factor que está presente en cada término del polinomio ,el  factor común es cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Ejemplo:

 12x + 18y - 24z= 6(2x + 3y - 4z )

También existe el factor común por agrupación de términos donde en un polinomio existe la posibilidad de agrupación en grupos donde cada grupo pueda tener su propio factor común , y si hay la misma expresión entre los grupos factores entre paréntesis, se sacamos estos y queda como una multiplicación de polinomios.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )

Saco el factor común de cada grupo:

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

( 2x -y +5 )(a + b)

• 2.       TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se conoce como trinomio cuadrado perfecto a aquel trinomio donde 2 de sus términos son raíces exactas y  el término del medio es el doble del producto de ambos.

Ejemplo:

X2 + 14x +49 = (x + 7)

• 3.       TRINOMIO DE LA FORMA X2+bx+c

En este trinomio se tiene un primer término el cual tiene coeficiente 1 , un segundo término donde el coeficiente es la suma o resta de dos términos que al ser multiplicados dan el 3 término independiente.

Ejemplo: s2+9s+18= (s+6)(s+3)

• 4.       TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C    

Este tipo de trinomio se resuelve multiplicando cada término por el coeficiente del primer término,luego se resuelven la multiplicación del 1 y 3 término , el segundo coeficiente cambia de lugar con el número a multiplicar, después se realiza la factorización x2+bx+c, con este resultado se divide el coeficiente por el primer término, y los dos factores se simplifican.

Caso 2 de factorización

Caso 3 de factorización.

Caso 4 de factorización

Caso 5 de factorización

Basado de: http://www.eva.com.mx/sia/materias/mat_053/podi/U4_liga7.html

OPERACIONES BASICAS CON MONOMIOS Y POLINOMIOS


MONOMIOS :

1. Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

     

axⁿ + bxⁿ= (a + b)xⁿ

Ejemplo

2x²y³z + 3x²y³z = (2 + 3)x²y³z = 5x²y³z 

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo: 

2x²y³ + 3x²y³z 

2. Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo: 

5 · (2x²y³z) = 10x²y³z 

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

     

axⁿ · bx^m = (a · b)x^{n + m}

Ejemplo:

(5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y³⁺²z¹⁺² = 10x²y⁵z³

 

4. División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

1Tienen la misma parte literal

2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.

     

axⁿ : bx^m = (a : b)x^{n − m}

5. Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

     

(axⁿ)^m = a^m · x^{n · m}

 

Ejemplos: 

(2x³)³ = 2³ · (x³)³= 8x⁹

(−3x²)³ = (−3)³ · (x²)³= −27x⁶

^POLINOMIOS  

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

 

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x) 

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3.Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

 

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8 

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.

http://www.vitutor.com/ab/p/a_3.html


VIDEO

https://www.youtube.com/watch?v=NK3nW7oQhqQ