TRIANGULOS

DEFINICIÓN 

Es un polígono, es decir una figura que se toma a base de lineas rectas y que al final quede una forma cerrada. Tiene 3 Lados, 3 Ángulos y 3 Vértices.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS:

1) triángulos equiláteros

Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado.

Son los triángulos cuyos tres lados son iguales: 

2) triángulos isósceles

La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas.

La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles.

Como ves en la figura, tienes el triángulo isósceles con dos lados iguales. Si tiene 2 lados iguales tendrá también dos ángulos iguales.

3) triángulos escalenos

La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo “cojea” sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes.

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGUN SUS ANGULOS

• Acutángulo:
  
  Tienen los 3 ángulos agudos (menos de 90 grados)

• Rectángulo

            El ángulo interior A es recto (90 grados) y los otros 2 ángulos son agudos

            Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos (c y b), el otro lado hipotenusa

• Obtusángulo

            El ángulo interior A es obtuso (más de 90 grados)

            Los otros 2 ángulos son agudos

TEOREMA DE LOS TRIÁNGULOS

Sobre los triángulos se conocen numerosos teoremas, algunos acerca de  sus lados, otros sobre sus ángulos y también  aquellos que relacionan lados y ángulos. Algunos ejemplos son:

• La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º
• La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360º
• El ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
  
  
  

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO 

VIDEO:

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Los sistemas de Medidas angulares son formas diferentes que se usan para medir un angulo.

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ACTIVIDAD SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

Funciones Trigonométricas

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado y se puede observar en la imagen el despeje para cada uno de los catetos de la forma al cuadrado y de la forma con raíz.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

 Seno A =   Cateto Opuesto  

                       Hipotenusa

 Coseno A=   Cateto Adyacente  

                            Hipotenusa

 Tangente A =    Cateto Opuesto    

                                        Cateto Adyacente

  Cotangente A =   Cateto Adyacente   

                                            Cateto Opuesto

 Secante A=       Hipotenusa     

                         Cateto Opuesto

 Cosecante A =        Hipotenusa       

                           Cateto Adyacente

En la imagen se puede ver ejemplificado las razones trigonométricas.

PRODUCTOS NOTABLES

DEFINICIÒN

Para entender que son productos notables debemos tener en cuenta que se le llama producto al resultado de una multiplicación y notable cuando se utilizan expresiones algebraicas.

BINOMIO CUADRADO:

La suma de dos términos elevados al cuadrado del primer termino menos el doble del primer termino multiplicado por el segundo sumándole el cuadrado de la segunda cantidad.

PRODUCTO DE BINOMIOS COMBINADOS:


El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer termino menos el cuadrado del segundo.

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero menos el doble del primer termino, multiplicando por el segundo, sumando el cuadrado de la segunda cantidad.

RESPUESTA:

En resumen se copia la siguiente tabla para que se entienda el Producto notable con su expresión Algebraica:

Producto notable		Expresión algebraica	Nombre
(a + b)2	=	a2 + 2ab + b2	Binomio al cuadrado
(a + b)3	=	a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	Binomio al cubo
a2 - b2	=	(a + b) (a - b)	Diferencia de cuadrados
a3 - b3	=	(a - b) (a2 + b2 + ab)	Diferencia de cubos
a3 + b3	=	(a + b) (a2 + b2 - ab)	Suma de cubos
a4 - b4	=	(a + b) (a - b) (a2 + b2)	Diferencia cuarta
(a + b + c)2	=	a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc	Trinomio al cuadrado

 Tabla tomada de: matematica/AlgebraProductosnotables.htm

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión en  factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

• 1.       CASO DE FACTOR COMÚN MONOMIO POLINOMIO Y POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Es el factor que está presente en cada término del polinomio ,el  factor común es cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Ejemplo:

 12x + 18y - 24z= 6(2x + 3y - 4z )

También existe el factor común por agrupación de términos donde en un polinomio existe la posibilidad de agrupación en grupos donde cada grupo pueda tener su propio factor común , y si hay la misma expresión entre los grupos factores entre paréntesis, se sacamos estos y queda como una multiplicación de polinomios.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )

Saco el factor común de cada grupo:

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

( 2x -y +5 )(a + b)

• 2.       TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se conoce como trinomio cuadrado perfecto a aquel trinomio donde 2 de sus términos son raíces exactas y  el término del medio es el doble del producto de ambos.

Ejemplo:

X2 + 14x +49 = (x + 7)

• 3.       TRINOMIO DE LA FORMA X2+bx+c

En este trinomio se tiene un primer término el cual tiene coeficiente 1 , un segundo término donde el coeficiente es la suma o resta de dos términos que al ser multiplicados dan el 3 término independiente.

Ejemplo: s2+9s+18= (s+6)(s+3)

• 4.       TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C    

Este tipo de trinomio se resuelve multiplicando cada término por el coeficiente del primer término,luego se resuelven la multiplicación del 1 y 3 término , el segundo coeficiente cambia de lugar con el número a multiplicar, después se realiza la factorización x2+bx+c, con este resultado se divide el coeficiente por el primer término, y los dos factores se simplifican.

Caso 2 de factorización

Caso 3 de factorización.

Caso 4 de factorización

Caso 5 de factorización

Basado de: http://www.eva.com.mx/sia/materias/mat_053/podi/U4_liga7.html

OPERACIONES BASICAS CON MONOMIOS Y POLINOMIOS


MONOMIOS :

1. Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

     

axⁿ + bxⁿ= (a + b)xⁿ

Ejemplo

2x²y³z + 3x²y³z = (2 + 3)x²y³z = 5x²y³z 

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo: 

2x²y³ + 3x²y³z 

2. Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo: 

5 · (2x²y³z) = 10x²y³z 

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

     

axⁿ · bx^m = (a · b)x^{n + m}

Ejemplo:

(5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y³⁺²z¹⁺² = 10x²y⁵z³

 

4. División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

1Tienen la misma parte literal

2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.

     

axⁿ : bx^m = (a : b)x^{n − m}

5. Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

     

(axⁿ)^m = a^m · x^{n · m}

 

Ejemplos: 

(2x³)³ = 2³ · (x³)³= 8x⁹

(−3x²)³ = (−3)³ · (x²)³= −27x⁶

^POLINOMIOS  

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

 

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x) 

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3.Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

 

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8 

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.

http://www.vitutor.com/ab/p/a_3.html


VIDEO

https://www.youtube.com/watch?v=NK3nW7oQhqQ